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2016/05/08

数学A:順列と組み合わせ 「組み合わせの公式で最後に割るのはどうして?」 どこかにいる見知らぬあなたの為に・・

■順列と、組み合わせ

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

<順列は>

───────────────────────────

  • 順番が関係するよ
  • 順序の違いを区別しているよ(別々のものとしてカウントするよ)

例:

赤・黄・青
黄・青・赤
青・赤・黄

↑内容は一緒だけど、順番は違うよね!(別々のものとしてカウントするよ)
だから、これは3通り

言い換えれば、
内容は重複しているけど、順番は重複していないよ。(順番は重複してないからカウントするよ)


順列問題は、順列が関係する(区別してカウントする)
=>式を作ることのできる文を見つけたら

使う公式はパーミュテーション
nPr

 

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

 <組み合わせ>

───────────────────────────

  • 順番は関係しないよ。(重要!)順番が関係するのなら、それは順列です。
    「順番が関係しないナ」と思ったら、組み合わせで考えてみよう。
  • 組み合わせの、組数を求めヨ!と聞かれているよ

何通り?じゃなくて
何組?を聞かれているよ!

例:

赤・黄・青
黄・青・赤
青・赤・黄

↑内容は一緒、だけど順番は違う。
でも、内容が一緒=これは1組合わせ

3通りあるけど、内容は一緒だから「1組」と考えるよ。

言い換えれば、
内容は重複しているけど、順番は重複していないよ。(内容が重複しいるから1つと考えるよ)

具体例:

人で考えると分かりやすいかな。
ルフィ、ゾロ、サンジ、ナミ、チョッパーの5人から、
自分をリーダーとして、3人選べるとしたら・・

私だったら、 ルフィ・サンジ・ナミを選ぶ。としよう

ルフィ・ゾロ・サンジ
ゾロ・サンジ・ルフィ
サンジ・ルフィ・ゾロ

↑内容(人)は一緒、だけど順番は違う。
でも、内容が一緒=これは1組合わせ=1チーム

-------------------------------------------------------

組み合わせ問題は、順列が関係しない(個々を区別しない)
=>式を作ることのできる文を見つけたら

使う公式は
コンビネーション n
Cr

問題1:

5人の異なるキャラから、3人を選ぶとき、組み合わせは「何組」出来るか?

式:

公式 nCr に当てはめて=> 5C3 

C3 = 5×(5-1)×(5-2) / 3×(3-1)×(3-2)
    = 5×4×3         / 3×2×1
    = 60             / 6
    = 10

答え:

10組

------------------

C3って?

C3 = 5P3 / 3! ってこと。

ん?5P3って?

私が居て・・

第一人目を選ぶには!全員人の中から、まず「ルフィ」を選ぶと・・残りは4人。

第二人目を選ぶには!残る人の中から、次の「ゾロ」を選ぶと・・残りは3人。

第三人目を選ぶには!残る人の中から、次の次「サンジ」を選ぶ。

全部で何通りあるかと計算しようとすると

私-------第一人目  -------第二人目  -------第三人目

    ┗ ルフィ          ┗ ルフィ          ┗ ルフィ

    ┗ ゾロ           ┗ ゾロ           ┗ ゾロ

    ┗ サンジ         ┗ サンジ          ┗ サンジ

    ┗ ナミ           ┗ ナミ           ┗ ナミ

    ┗ チョッパー       ┗ チョッパー        ┗ チョッパー   

選択肢は

     5         ×    4           ×   3

人の中から、人を選ぶ

5P3 = 5×4×3ってことの公式(全部のパターン。何通りあるか漏れなく計算部分)

ん?ん?じゃぁ、残りの

/ 3! は?

ルフィ・ゾロ・サンジ
ゾロ・サンジ・ルフィ
サンジ・ルフィ・ゾロ

↑内容(人)は一緒。
通りで考えると「3通り」だけど、同じ人ばかりだからチームとしては「1組」だよね。

/ 3! は、重複している3通りを1組と考えて、取り除く。ってこと。
組み合わせは何組か?を聞かれているからね。

5P3 の全パターン(全通り)から、重複している「3パターンは1組」として
割ってあげれば、組数だけが残る。

3! は、 3P3 = 3×2×1ってこと
-----------------------------------------------------

数字を小さくしてみると・・

人(Aさん、Bさん、Cさん)の中から、人選ぶと何組出来る?

まず、3人の全パターン(全通り)の計算方法は

3P2 = 3×2 = 6通り

A, B
B, A

B,C
C,B

A,C
C,O

次に、重複している1組のパターン数は

2P2= 2×1 = 2通り(が1組)

6通り / 2通り = 3組

----------------------

C2 = 3P2 /  2P2 = 3×2 / 2×1 =3組

P2 は 2!とも書くよ。 P2 = 2!ってこと

-----------------------------------------------------

他サイトで詳細説明はいくつも掲載されているから、まずはそちらをサラッと見て

「どうして最後に割るの?」と疑問が解けないあなたに・・
伝われば幸いです。

( 〃..)ノ

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